| Imaginem a seguinte situação. Em algum laboratório do planeta Terra, um físico está observando o movimento de bolas de ferro sendo disparadas a partir de diferentes posições, velocidades e inclinações. Através destes dados, ele consegue calcular onde elas estarão em cada instante de tempo. Além disso, ele calcula com que velocidade ela passa por cada ponto de sua trajetória. O físico “prevê” o movimento. A imprecisão dos aparelhos de que dispõem geram um pequeno erro nos cálculos. Aprimorando os aparelhos de medida, ele pode “prever” melhor o movimento. À medida que as medidas melhoram, as diferenças entre o sistema previsto e o sistema medido diminuem. Mas será que todo o sistema físico é assim previsível? A resposta é não. Há sistemas imprevisíveis. Mas por que há sistemas imprevisíveis? A resposta está nas leis da Física. Determinismo e previsibilidade A maioria das leis da Física é descrita matematicamente por equações. Resolvendo as equações, sabe-se como um sistema se comporta em cada instante de tempo. Estas equações podem ser resolvidas se duas coisas são conhecidas: o sistema e as condições deste em certo instante de tempo. Geralmente os físicos colocam seus cronômetros no instante zero no momento da primeira coleta de dados. Assim estas condições são denominadas “condições inicias”, mesmo que o sistema não tenha sido criado naquele momento. Por exemplo, o sistema que nosso físico está estudando consiste em bolas de canhão que sofrem a ação da gravidade e do atrito com o ar. As condições iniciais são a posição, a velocidade e a inclinação do disparo. Assim uma bola lançada verticalmente para cima terá uma trajetória vertical. Ela atingirá uma altura máxima e voltará a cair. Já uma bola lançada com certa inclinação, terá uma trajetória parabólica. E assim por diante. A idéia de que as condições iniciais do sistema determinam seu comportamento futuro é denominado determinismo. E a natureza, pelo menos a que está a nossa volta, é determinista. A queda dos corpos, a órbita da Lua e dos planetas, o choque entre corpos, as ondas sonoras e as eletromagnéticas, entre outras coisas, podem ser compreendidas à luz do determinismo. São sistemas previsíveis. Mas como o determinismo explica tantos sistemas imprevisíveis? O próprio determinismo contém a resposta da imprevisibilidade de tantos sistemas. Como foi dito, a previsibilidade de um sistema depende de conhecê-lo em certo instante de tempo. Se você não o conhece, o sistema é imprevisível. Mas será que é possível construir instrumentos de medição perfeitos? Em princípio não. O ramo da Física conhecido como Mecânica Quântica proíbe a medida perfeita. Sempre há uma incerteza intrínseca em relação às medidas. Na verdade, o aumento da precisão na medida da posição de uma partícula, a partir de certo limite, passa a aumentar a incerteza na velocidade. Mas, se você desiste de melhorar a medida da posição e passa a aumentar a precisão da velocidade, ocorre algo análogo. Quando a incerteza na velocidade atinge um patamar mínimo, a incerteza na posição passa a crescer. Assim, diminuir muito a incerteza em uma das duas grandezas implica em aumentar a outra. Isto é conhecido como “princípio da incerteza de Heisenberg”. Se você não conhece as condições iniciais do sistema, não pode fazer previsão alguma. Então agora a questão se inverte. A pergunta não é por que existem sistemas imprevisíveis. A pergunta pertinente é: por que existem sistemas previsíveis? A resposta é que a indeterminação imposta pelo princípio da incerteza só é relevante para partículas. Por exemplo, afirmar que a posição de uma bola de canhão tem uma imprecisão de um décimo de milímetro é uma ótima medida. Já afirmar a mesma imprecisão para uma partícula como um átomo é uma medida péssima, uma vez que ele possui um tamanho de cerca de um centésimo de milionésimo de centímetro. Assim, a imprecisão quântica nos aparatos não é um grande problema para o mundo que vemos a nossa volta. Mas resta ainda a imprecisão devido às limitações de nossa tecnologia. Na verdade os cientistas convivem com os erros experimentais e os levam em conta em seus cálculos. Qualquer experimento científico sério revela um contraste entre os resultados medidos e os esperados. Apenas se o contraste fica acima de certo patamar é que se considera que não há concordância entre a teoria e a prática. Então será que a imprevisibilidade dos sistemas físicos de nosso cotidiano não se deve apenas à imprecisão dos instrumentos de medida? Sensibilidade e caos Na verdade existem sistemas em que uma pequena variação nas condições iniciais gera grandes diferenças na evolução temporal deles. Como sempre existe um erro associado à medição, o sistema calculado e o medido terão evoluções temporais muito diferentes, mesmo que comecem “quase” idênticos. Na linguagem dos físicos, o sistema é “sensível” às condições iniciais. É esta sensibilidade às condições iniciais, exibida por muitos sistemas, que é denominada “caos”. O que determina o caos não são os instrumentos, mas a própria “sensibilidade” do sistema às condições iniciais. Mas o que gera esta sensibilidade? Por que alguns sistemas são caóticos enquanto outros não o são? Geralmente o que torna o sistema caótico é a interdepêndencia entre diferentes variáveis. Para ilustrar esta idéia que parece tão abstrata, comparemos dois pêndulos, ambos constituídos por um fio e uma esfera. Em um dos pêndulos o fio tem comprimento fixo e no outro ele é elástico. No primeiro caso, o pêndulo não é caótico. Determinando a inclinação e a velocidade inicial sabe-se onde o pêndulo estará, em cada instante. O movimento é previsível. A gravidade acelera a esfera para baixo e a desacelera para cima. O atrito diminui a amplitude do movimento a cada oscilação. Já no segundo caso, além da gravidade e do atrito, a oscilação do fio elástico também interfere no balanço do pêndulo. Assim, para pequenas diferenças nas condições iniciais, desenvolvem-se grandes diferenças na evolução temporal. Entendendo melhor a complexidade do movimento, imagine que em alguns momentos o fio se comprimira o máximo possível. Com isso, no instante seguinte ele tende a se esticar. Se a esfera estiver descendo, o estiramento do fio fará com que ela desça ainda mais. Mas, se a esfera estiver subindo, o esticamento do fio atuará de forma contrária à subida. No caso de o fio se esticar o máximo possível, haverá uma contração logo em seguida e assim por diante. No primeiro tipo de pêndulo havia três variáveis: a altura da esfera, a velocidade dela (de subida ou descida) e o número de oscilações. Já no segundo tipo de pêndulo, há cinco variáveis: as três já citadas, o comprimento do fio (que varia) e a velocidade de esticamento (ou de contração). Sistemas como os movimentos de um fluido (o que inclui todos os gases e líquidos), desenvolvimento de colônias de bactérias, movimentos involuntários de grupos musculares (como o coração) e parâmetros econômicos são caóticos. Eles envolvem um número imenso de variáveis, o que os torna muito sensíveis às condições iniciais. Por exemplo, a temperatura de uma certa porção da atmosfera (que é um fluido) depende de uma lista de cerca de 60 variáveis, as mais importantes sendo altitude, latitude, inclinação do terreno, proximidade dos oceanos e rios, umidade, velocidade do vento, pressão atmosférica, horário, estação do ano etc. Uma mínima alteração de qualquer uma destas variáveis já altera as demais (com exceção do horário, do dia e da estação do ano, que afetam as outras variáveis sem serem afetados por ela). Mas se os sistemas caóticos são imprevisíveis, por que estudá-los? Um sistema caótico não é um caos no sentido usual. Ele é um sistema imprevisível, mas não viola as leis da natureza. Assim, os sistemas caóticos exibem certos padrões. Estes padrões de comportamento permitem prever pelo menos as condições mais prováveis que o sistema atingirá. Por exemplo, os metereologistas não podem informar a temperatura exata do dia de amanhã. Mas eles podem saber pelo menos as temperaturas máxima e mínima possíveis. Um cardiologista não pode prever os movimentos exatos do coração de seu paciente. Ainda assim, ele pode relacionar uma cardiopatia a hábitos alimentares ruins e recomendar uma dieta para o paciente em questão. Com estes dois exemplos é fácil entender que os sitemas caóticos não são totalmente imprevisíveis. Medindo o caos Então será que existe um índice que indique o grau de imprevisibilidade do sistema? Este índice existe e é calculado a partir da sensibilidade do sistema às condições iniciais. Ele é denominado coeficiente de Lyapunov. Quanto maior o coeficiente de Lyapunov, mais sensível o sistema é. O sistema só é considerado caótico se o coeficiente de Lyapunov for maior do que 1. Assim, os sistemas caóticos são imprevisíveis, mas não tanto quanto podem parecer à primeira vista. Para quem estiver querendo se rebelar contra as leis da natureza, um refúgio que parece tentador é o mundo microscópico. Voltando à Mecânica Quântica, será que o princípio da incerteza de Heisenberg aliado ao caos não transformariam o mundo microscópico em um sistema totalmente imprevisível? Estudos recentes mostram que não. As equações da Mecânica Quântica impõem restrições à energia do sistema. Por exemplo, entre os estados de menor energia do elétron no átomo e o primeiro excitado, não existe nenhum intermediário. Assim, a área da Física denominada Caos Quântico revela que os efeitos quânticos diminuem o coeficiente de Lyapunov ao invés de aumentá-lo. Tentamos na medida do possível esclarecer neste pequeno texto o que é um sistema caótico. Vimos que um sistema caótico é um sistema imprevisível por ser muito sensível às condições iniciais. Também vimos que tal sensibilidade está ligada à interferência entre as variáveis do sistema. Mas por que estudar o caos? Os problemas ligados ao caos são muito pertinentes e de larga aplicação. Para ilustrar a importância dos sistemas caóticos hoje em dia, basta lembrar que as doenças cardiovasculares, o superaquecimento global e a instabilidade econômica são questões ligadas diretamente ao caos. Assim, vale a pena estudar o caos! Já que não podemos ser oniscientes e prever a evolução temporal dos fenômenos da natureza, que pelo menos não sejamos completamente ignorantes.
* Leonardo Sioufi F. dos Santos é bacharel, mestre e doutor em Física pelo Departamento de Física-Matemática do Instituto de Física da USP e pós-graduado em Matemática Pura pelo Instituto de Matemática e Estatística da USP. |
